L'infini

Bonjour à tous ! Aujourd'hui on va parler de l'infini.

Et ouais, rien que ça.

L'infini, il y a plusieurs manières de l'envisager suivant que l'on prend le point de vue

du mathématicien, du physicien ou bien du philosophe.

Dans cette vidéo, je ne vais pas avoir le temps de parler de tout ça à la fois,

donc je vais me concentrer sur un aspect particulier qui est l'infini en mathématiques

et plus précisément les ensembles infinis.

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En mathématiques il y a plusieurs manières d'approcher le concept d'infini

et une des manières les plus élémentaires est celle de la théorie des ensembles.

En mathématiques on manipule souvent des ensembles,

c'est-à-dire des collections de trucs et les trucs, on appelle ça des éléments.

On peut faire des ensembles un peu de ce qu'on veut,

des ensembles de nombres, de figures géométriques, de fonctions, etc ...

Une des choses les plus simples dont on puisse parler à propos d'un ensemble

c'est sa taille, c'est-à-dire le nombre d'éléments qu'il contient

et on appelle ça son cardinal.

Par exemple, le cardinal de cet ensemble est 6, celui-là 4, celui-là 7, etc ...

Un des tout premiers ensembles qu'on considère quand on fait des maths

c'est celui des nombres entiers positifs, c'est-à-dire 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc...

On appelle ça les entiers naturels qu'on note N, comme ça.

A votre avis, c'est quoi le cardinal de l'ensemble des entiers naturels ?

Il y en a combien des entiers naturels, et bien... il y en a une infinité, non ?

Et oui, et on peut même prendre ça comme définition de l'infini,

on va dire que l'infini c'est le cardinal de l'ensemble des entiers naturels

et on note ça avec ce symbole que vous connaissez certainement

qui ressemble à un 8 couché et qu'on appelle le lemniscate.

Ok, donc on a une définition de l'infini, c'est le cardinal de N, on va voir un peu où ça nous mène.

Quand on considère un ensemble, il y a cette idée un petit peu intuitive

que, si on ne prend qu'une partie de cet ensemble

son cardinal doit être forcement plus petit, ça parait assez logique.

Voyons ce que ça donne avec des entiers naturels.

On va considérer N donc, l'ensemble des entiers naturels

et on va considérer à côté un autre ensemble, l'ensemble des entiers plus grands que -1,

c'est-à-dire -1, 0, 1, 2, 3, etc...

et cet ensemble on va l'appeler E.

Vous voyez que E est la même chose que N, on a juste ajouté un élément qui est le nombre -1.

Le cardinal de cet ensemble E, qu'est-ce que c'est ?

Et bien, intuitivement on sent bien que c'est l'infini aussi mais ...

en même temps on sent bien que E est quand même plus grand que N

donc est-ce que c'est vraiment le même infini

ou est-ce que c'est un infini plus gros auquel il faudrait, par exemple, donner un autre symbole.

En fait, ce qui nous manque ici c'est un moyen de comparer les infinis.

Pour essayer d'y voir un petit peu plus clair, on peut avoir recours à un petit jeu qui s'appelle l’hôtel de Hilbert.

L’hôtel de Hilbert est une petite énigme qui a été proposée pour la première fois

par le mathématicien David Hilbert.

Imaginez qu'on ait un hôtel qui ait une infinité de chambres

qui soient numérotées par les nombres entiers naturels,

donc il y a la chambre 0, la chambre 1, la chambre 2, etc...

Maintenant supposons que toutes les chambres sans exception soient occupées chacune par une personne.

Tout va bien jusqu'à ce que quelqu'un se pointe à la réception de l'hôtel

et demande s'il n'y aurait pas une chambre de libre.

Là, le gérant répond que non, il n'y a pas de chambre libre puisque l'hôtel est plein.