La formule qui a radicalement transformé la finance mondiale [Black-Scholes]

Bonjour à tous, aujourd'hui on va parler d'une formule peu connue, mais qui fait pourtant

partie des équations les plus influentes qui soit. Et pour une fois, non, on ne va

pas parler de physique fondamentale, mais de mathématiques financières, puisqu’il

s’agit de la formule de Black-Scholes.

La formule de Black-Scholes est une équation qui, depuis les années 70, a profondément

transformé le secteur de la finance de marché, et a donc eu un impact considérable sur l'économie

de ces dernières décennies. Un impact qui se chiffre à l’heure actuelle en milliers

de milliards de dollars.

Aujourd'hui on va donc essayer de comprendre ce qu'est cette mystérieuse formule, à quoi

elle sert, comment on l’établit. Et surtout le lien fascinant qu'elle entretient avec

certains concepts essentiels de physique statistique.

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Imaginons une situation complètement fictive. Vous êtes boulanger, et l'ambassadeur du

coin vient vous commander 20 000 croissants pour une réception. C'est une super opportunité

pour vous, vous lui faites un devis, qu'il accepte. Seul point particulier : la réception

aura lieu dans un an. Oui, l’ambassadeur est prévoyant.

Le problème c'est que vous ne pouvez pas préparer dès maintenant les croissants pour

dans un an, il faudra le faire maximum quelques jours avant. Sauf que vous avez déjà fixé

le prix sur votre devis, et peut-être que d'ici un an, le coût des matières premières

nécessaires aura beaucoup changé.

Disons qu'actuellement la tonne de blé coûte environ 200€.

[0 HISTORIQUE Mais vous savez que dans les années passées, le cours du blé a varié,

et donc impossible de prévoir combien il coûtera exactement dans un an. Si ça reste

autour de 200€, ça va aller. Mais si le coût du blé augmente trop d'ici l’échéance,

comme vous avez déjà négocié le prix des croissants, vous risquez fort de vous retrouver

avec une opération déficitaire. Ca serait un peu embêtant !]

Vous décidez donc d'aller voir votre banque pour trouver une solution, et celle-ci vous

propose une sorte d’assurance. Le prix actuel du blé sur le marché est de 200€ la tonne;

eh bien si dans un an celui-ci a significativement augmenté, et qu’il est supérieur à disons

220€, la banque s’engage à vous le fournir quand même à 220€, pas plus. C'est plutôt

avantageux pour vous comme idée.

[1 SCENARIOS Voici l’historique du prix sur l’année qui vient de s’écouler.

Si pour l’année à venir, le prix du blé baisse sur le marché, tant mieux pour vous,

la matière première vous coûtera moins cher que prévu. S’il augmente, mais qu'au

bout d’un an il est en-dessous de 220, vous ferez moins de bénéfice avec vos croissants,

mais ça va encore.

En revanche si le prix du blé sur le marché augmente fortement et dépasse 220, la banque

s’occupe de vous le fournir. Même si le prix de marché est 250 voire 300 ou 400 euros

: peu importe, elle ne vous le fera payer que 220€. Donc vous êtes couvert en cas

de hausse importante du prix du blé.]

Évidemment cette proposition a un coût, rien n’est gratuit : vous allez devoir verser

dès maintenant une somme fixe à la banque, afin de bénéficier de cette couverture.

C’est comme de payer une prime d'assurance. Et la question cruciale est la suivante : combien

la banque doit-elle vous faire payer pour ça ?

Vous trouvez peut-être cette question anecdotique, mais il s’agit en fait d’un cas spécifique

d'un problème de finance extrêmement important : celui de l'évaluation du prix des options,

ou pricing des options. Ce service d’assurance financière que vous propose la banque avec

le blé, c'est en effet ce qu'on appelle une option de type "call".

Une option call, c'est un contrat qu’on achète en payant d’avance une prime fixe,

et qui offre la possibilité d'acheter un produit à une certaine date dans le futur,

mais à un prix fixé d’avance. Ici le contrat était pour une tonne de blé dans un an,

et le prix fixé d'avance c'était 220€. C’est ce qu’on appelle le prix d'exercice

de l’option.

[2 CALL Si quand on arrive à la date donnée, le cours du produit sur le marché est supérieur

au prix d'exercice, le bénéficiaire va en général décider d'exercer l'option. C'est-à-dire

qu’il demande à la banque qui lui a vendu l'option d’honorer son engagement, et donc

de lui vendre le produit au prix d'exercice.

Ici la banque sera obligée contractuellement de vendre une tonne de blé au boulanger pour

220€, et ce quel que soit le cours du blé sur le marché.

Mais si le cours du blé sur le marché est inférieur à 220€, là le boulanger a intérêt

à acheter sur le marché et à ne pas exercer l'option. L’option va simplement expirer,

un peu comme une assurance qui n'aurait servi à rien.

Une option call, c’est un droit d’acheter à une certaine date à un certain prix, mais

ça n'est pas une obligation. Le détenteur est libre d'exercer ou pas l'option, et donc

de se rendre acquéreur ou pas. C’est pour ça qu’on appelle ça une « option ».]

A l'opposé de ces options "call", il existe des options qu'on appelle "put", et qui permettent

cette fois de faire l’inverse : de vendre un produit à une certaine date, et à un

prix fixé à l'avance. Et là le même principe s’applique.

[2 PUT Si le prix de marché est inférieur au prix d'exercice, le détenteur aura intérêt

à exercer l'option pour écouler son produit à un prix plus avantageux que s'il vendait

sur le marché. Ca permet par exemple de s'assurer contre une baisse des prix, si on sait qu'on

aura une marchandise à écouler à une date future.

Et si le prix de marché est resté supérieur au prix de l’option, le détenteur vendra

sur le marché sans exercer l’option.]