Les théorèmes d'incomplétude de Gödel

En 1931, paraissait dans la revue Monatshefte für Mathematik,

un article au titre apparemment incompréhensible,

écrit par un jeune logicien qui n'avait seulement que 25 ans, Kurt Gödel.

Cet article contenait 2 théorèmes

qui allaient révolutionner notre compréhension du fondement des mathématiques.

Les théorèmes d'incomplétude.

♪ [Générique] ♪

La première fois que j'ai entendu parler du premier théorème d'incomplétude de Gödel

c'était en cours de philo, en terminale.

Le prof nous avait expliqué que ce théorème affirmait qu'en mathématiques ,

il existerait toujours des vérités qui sont indémontrables

Alors j'vous avoue que sur le coup ca m'avait un peu choqué.

Qu'est ce que ca veut dire exactement qu'il existe des choses qui sont vraies et indémontrables?

Et comment affirmer ça, ça peut être un théorème?

Eh bien, on va essayer de le comprendre ensemble.

En mathématiques, on passe son temps à faire des démonstrations

et d'ailleurs c'est assez fréquent que les exos de maths qu'on fait au lycée ou bien plus tard

soient posés sous cette forme.

Par exemple "démontrez moi que la somme des angles d'un triangles fait 180° "

Ou bien "'démontrez moi le théorème de Pytagore"

Ou "démontrez moi que racine de deux ne peut pas s'écrire comme une fraction" etc

L'idée qui traine derrière, c'est que si on arrive à démontrer quelque chose, c'est que ce quelque chose doit être vrai.

Par exemple le théorème de Pytagore, on sait le démontrer

et il est vrai, il fonctionne. Il n'y a pas un seul triangle rectangle dans lequel il ne marcherait pas.

C'est ça l'interêt de faire des démonstrations, c'est pour être certain que quelque chose est vrai.

Inversement si quelque chose est vrai, on se dit qu'il doit être démontrable.

Ca veut pas dire qu'on a déjà trouvé la démonstration, mais on est sûr qu'il doit en exister une quelque part.

Donc quand on fait des mathématiques à notre niveau, "vrai" et "démontrable", on fait comme si c'était la même chose

Ce qui est vrai est démontrable, ce qui est démontrable est vrai.

Eh bien pour comprendre l'objet des travaux de Gödel, il faut commencer par réaliser que non:

vrai et démontrable, ça n'est pas la même chose.

Pour ça il faut commencer par se demander, qu'est ce que c’est une démonstration?

Alors c'est pas toujours explicite quand on fait des raisonnements mathématiques,

mais les démonstrations en maths utilisent ce qu'on appelle la méthode axiomatique

Quand on fait des raisonnements mathématiques, au départ on se donne un nombre restreint d'affirmation

que l'on va admettre sans démonstration. On appelle ca les axiomes.

Et dans une démonstration, on combine ces axiomes en utilisant les règles de la logique

dans le but de créer de nouvelles affirmations

et ces nouvelles affirmations, on les appelle des théorèmes.

Alors on va commencer par prendre un exemple simpliste. Imaginons que je me donne 3 axiomes:

Axiome 1: Tous les êtres humains sont mortels.

Axiome 2: Tous les hommes sont des être humains.

Et, Axiome 3: Socrate est un homme.

Alors vous voyez qu'en combinant les axiomes 1 et 2, et en combinant les axiomes de la logique,

je peux déduire l'affirmation suivante: tous les hommes sont mortels.

Cette affirmation, c'est un théorème, c'est à dire qu'on l'a déduit des axiomes, on en a fait une démonstration.

Mais maintenant, en combinant ce théorème avec l'axiome 3,

je peux déduire un nouveau théorème qui dit "Socrate est mortel".

Cet exemple est ultra-basique donc on peut pas aller beaucoup plus loin, mais vous voyez l'idée:

on part d'axiomes, on construit des théorèmes,

et on peut s'appuyer sur ces théorème pour construire encore de nouveaux théorèmes, et ainsi de-suite.

On peut prendre un analogie illustrée.

Les axiomes ce sont comme des briques de légo de base

qu'on aurait le droit d'utiliser autant de fois qu'on veut, et de combiner entre elles.

Et quand on combine des briques de base, bah on obtient des structures plus complexes, les théorèmes.

Qu'on peut, à leur tour, utiliser et combiner pour construire des structures de plus en plus riches.

La beauté de la méthode axiomatique, c'est que, comme avec les légo,

en partant d'un nombre restreint d'axiomes, on peut construire tout un tas de théorèmes.

Mais vous voyez que ca dépend évidement du système d'axiomes qu'on se donne au départ.

Mon exemple avec les trois axiomes de Socrate ne nous a pas emmené très loin.

Quand on veut faire des mathématiques, il faut bien choisir son système d'axiomes,

et il existe plusieurs possibilités suivant le domaine dans lequel on veut travailler.

Si vous voulez faire de la géométrie dans le plan ,vous pouvez utiliser les axiomes d'Euclide.

Je vous les liste ici.